连锁不平衡

连锁不平衡在群体遗传学中，指同一条染色体上两个等位基因在传代中共同遗传的概率。连锁不平衡程度往往会受到同源染色体间重组率的影响。重组率越高，连锁不平衡程度越小。
连锁不平衡在概率统计上，也反映为同一条染色体上两个等位基因的非随机相关性。因此，假设等位基因A，B，则它们之间的连锁关系可以表示为群体中观测AB基因型频率和随机背景下(Hardy-Weinberg平衡)AB基因型频率之差。

$D_{AB} = p_{AB}-p_{A}p_{B}$

具体来说，

基因频率: $p_A=u+s$; $p_a=t+v$; $p_B=u+t$; $p_b=s+v$
对于AB来说, $D = p_{AB} - p_{A}p_{B} = u - (u+s) (u+t) = u (1-u-s-t) - st = uv - st$

连锁不平衡的其它度量方法（1）
当$uv - st > 0$时：

$D_{max} = min[{p_{A}p_{b}, p_{a}p_{B}}]$

当$uv - st < 0$时：

$D_{max} = min[{p_{A}p_{B}, p_{a}p_{b}}]$

标准化不平衡度Dˊ定义为：

$D' = \frac{D}{D_{max}}$

连锁不平衡的其它度量方法（2）
将不平衡度平方后除以四种等位基因频率的乘积：

$r^2 = \frac{D^2}{p_{A}p_{a}p_{B}p_{b}}$

1. $r^2$不平衡度的平方根正好等于两个座位间的相关系数;
   假设biallelic site A: 两个等位基因的频率分别为 $p_A$，$p_a$，满足$p_A+p_a=1$
   biallelic site B: 两个等位基因的频率分别为 $p_B$，$p_b$，满足$p_B+p_b=1$

   $r = \frac{Cov(p_A, p_B)}{\sqrt{Var(p_A)\times{Var(p_B)}}}$

   在样本大小为$n$的群体中，随机抽取等位基因使其满足频率为$p_A$，则$p_A$的分布为$2n$次随机抽样的二项分布，$p_A$的方差为$2n{p_A}{p_a}$ 。$p_B$的分布同理。两者的协方差为$2n(p_{AB}-p_A{p_B})$

   $r=\frac{2n\times({p_{AB}-p_A\times{p_B})}}{\sqrt{(2n\times{p_A\times{p_a}})\times(2n\times{p_B\times{p_b}})}}$

由D的定义可知，$D_{AB} = p_{AB}-p_{A}p_{B}$
则上式可写成：

$r^2 = \frac{4n^2\times{D_{AB}^2}}{4n^2\times{p_A}\times{p_a}\times{p_B}\times{p_b}}=\frac{D_{AB}^2}{p_{A}p_{a}p_{B}p_{b}}$

2. $r^2$不平衡度乘以总样本量正好等于不平衡检验的 $\chi^2$统计量。
   因此，不平衡度参数$r^2$在自然群体的遗传分析中有更广泛的应用。

总结：

1. 前面的三种不平衡度参数，各自从不同侧面反映座位间的不平衡程度，难以相互取代。
2. 后两者参数的目的是消除基因频率对不平衡度的影响。但是，不平衡度和基因频率都是从配子观测频率计算出来的，这度量方法有时也难以完全排除等位基因频率的影响。
3. 此外，这些参数都不能用来判断不平衡度的显著性，不平衡度的显著程度仍然要借助于统计假设检验。

References:
https://www.isbreeding.net/teaching/?type=detail&id=14